两个矩阵相乘怎么算（计算两个矩阵相乘的算法和过程）

文章编号：13112 更新时间：2023-10-10 分类：便民信息 阅读次数：次

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矩阵相乘的定义

矩阵相乘是指，将一个$m$行$n$列的矩阵$A$与一个$n$行$p$列的矩阵$B$相乘，得到一个$m$行$p$列的矩阵$C$。其中，矩阵$A$中的第$i$行与矩阵$B$中的第$j$列分别对应相乘，结果保存在矩阵$C$的第$i$行第$j$列。

矩阵相乘的算法

矩阵相乘的最朴素算法是三重循环，时间复杂度为$O(mnp)$。具体实现如下：

for(i=0;i 其中，$A,B,C$分别代表待乘矩阵。以上算法由于三重循环，时间复杂度较高，所以并不常用。
 另一种常用的算法是Strassen算法，其时间复杂度为$O(n^{log_2 7}) ≈ O(n^{2.81})$。该算法基于矩阵分块原理，将大矩阵分解为多个小矩阵，通过矩阵乘法递归求解，最终组合各小矩阵的结果得到大矩阵的结果。由于该算法时间复杂度较低，所以常用于大规模矩阵相乘中。
  矩阵相乘的过程
 以$2 \times 3$矩阵$A$和$3 \times 2$矩阵$B$相乘为例：
 A=[123]B=[45][456][78]C=A*B=[1*4+2*7+3*101*5+2*8+3*11][4*4+5*7+6*104*5+5*8+6*11]=[3440][7994]
 从上图可以看出，$A$的第一行与$B$的第一列对应相乘($1 \times 4 + 2 \times 7 + 3 \times 10$)，结果为第一个元素$34$；$A$的第一行与$B$的第二列对应相乘($1 \times 5 + 2 \times 8 + 3 \times 11$)，结果为第二个元素$40$；以此类推，最终得到结果矩阵$C$。
 总结
 矩阵相乘是将两个矩阵中对应元素相乘，再将其相加得到的一个新的矩阵。矩阵相乘的算法有朴素算法和Strassen算法，其中Strassen算法时间复杂度较低，常用于大规模矩阵相乘。