前言

三角函数是初中数学学科的重要组成部分，尤其是正弦定理和余弦定理更是经常用到的命题。下面我们将重点讨论这两个重要的定理。

正弦定理

在平面内任意三角形中，虽然每条边和它所对的角都是固定量，但三角形的形状却是无规则可察的。

而古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus，公元前408年－公元前355年）就认为可以用“形心”（即外心）、“中心”（即内心）、“重心”和“垂心”来确立三角形形状的稳定参照系。

正弦定理由任意三角形的一个角到其对边的正弦、余弦或正切的比等于三角形的每个角对应的正弦、余弦或正切的和或差中的一个：

假设 ABC 为任意三角形，b、c、a 分别为边 a、b、c 对面的角 BAC、ACB、CBA 所对的边长，则正弦定理的表达式为：

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

说明：

设 D 为任意一点（不妨设在角 A 的对边 BC 上）。$AD$ 的长度设为$h$，则 $SD$ 的长度即为 $h \cos A$。同样地，$AC=SD+h\sin C$，$AB=SD+h\sin B$。 观察 $AC,AB$ 与 $a$ 的关系，得

$$\begin{aligned}

AB+AC&=h\sin B+h\sin C+2SD \\

&=2h\cos A+2SD=2h\cos A+AD+BD \\

&=2h\cos A+\frac{h\cos A}{\sin A}\cdot AB+\frac{h\cos A}{\sin A}\cdot AC

\end{aligned}$$

对比得到

$$\frac{a}{\sin A}=2R$$

其中 $R$ 表示 $\triangle ABC$ 的外接圆半径。

余弦定理

在任意三角形 ABC（其中 A 不等于 90°） 中，设 $\angle A$ 的对边为 $a$，$AB=b$，$AC=c$，则有余弦定理成立：

$$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$$

公式的示意如下：

余弦定理是一个非常实用的命题，我们举一个例子：

【例1】如下图所示，D是以AB为直径的圆弧BC的中点，$BC=a,AC=b,BD=x$，求AD边长。

解：因为$D$是圆弧$BC$的中点，所以$CD=BD=a/2$，\`$$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}= \sqrt{(b+x)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}$$

由余弦定理可得：

$$b^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+(b+x)^2-2\cdot \frac{a}{2}\cdot (b+x) \cdot \cos \angle ADE$$

$$\Longrightarrow \cos \angle ADE=\frac{a}{4(b+x)}-\frac{b+x}{2a}$$

又因为在$\triangle BDE$中：

$$\sin \angle ADE=\frac{BD}{DE}=\frac{a}{2\sqrt{(b+x)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}}$$

$\therefore$

$$\cos ADE=\pm \sqrt{1-\sin^2 ADE}=\pm \frac{\sqrt{\left[(b+x)^2-\frac{a^2}{4}\right]-a^2}}{2(b+x)}$$

注意： $\angle ADE$ 是第二象限角，所以 $\cos ADE$ 要用负号。

因此，

$$AD=\sqrt{(b+x)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}-\frac{a}{2} \cos ADE$$

将 $\cos ADE$ 的值代入即可。

总结

通过本文的介绍，我们可以清楚地认识到正弦定理和余弦定理的定义及其应用。在实际计算过程中，我们可以根据具体的题目要求应用不同的定理来求解。在初中数学考试和高中数学的基础知识考试中，这两个定理的掌握程度也成为考生能否取得好成绩的关键。

标签： 定理、 余弦、 正弦、 三角、 函数、 简介、 概述、

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